Por que a chance de A não aumenta para 1/2?

Porque A já sabia que o carcereiro obrigatoriamente diria o nome de alguém que não fosse ele mesmo. Portanto, a informação de que B será executado não exclui nenhuma possibilidade que A já não esperasse, não alterando sua probabilidade inicial de 1/3.

Qual a relação com o Problema de Monty Hall?

Ambos lidam com a probabilidade condicional e a atualização de chances após a revelação de uma opção incorreta por alguém que possui conhecimento prévio do resultado final.

Quem é o prisioneiro correto no paradoxo?

O prisioneiro C, que raciocina que sua chance de ser perdoado subiu para 2/3, enquanto a de A permanece em 1/3.

O Problema dos Três Prisioneiros

O Problema dos Três Prisioneiros é um paradoxo de probabilidade condicional que ilustra como a nova informação pode alterar a probabilidade de um evento, mas não necessariamente de todos os eventos relacionados. O problema foi popularizado por Martin Gardner em sua coluna "Mathematical Games" na revista Scientific American em 1959. Matematicamente, este enigma é equivalente ao Problema de Monty Hall, onde a liberdade e a execução substituem o carro e as cabras.

O Enunciado do Problema

Três prisioneiros (A, B e C) estão em celas separadas e foram condenados à morte. O governador decidiu perdoar um deles, escolhido aleatoriamente. O carcereiro sabe quem será perdoado, mas tem ordens estritas de não revelar a identidade do perdoado.

O prisioneiro A, tentando descobrir suas chances, pede ao carcereiro que revele o nome de um dos outros dois prisioneiros que certamente serão executados. O carcereiro concorda, sob as seguintes condições:

Se B for perdoado, o carcereiro dirá que C será executado.
Se C for perdoado, o carcereiro dirá que B será executado.
Se o próprio A for perdoado, o carcereiro jogará uma moeda secretamente para decidir se dirá que B ou C será executado.

O carcereiro informa a A que o prisioneiro B será executado. A, sentindo-se otimista, acredita que sua probabilidade de sobrevivência aumentou de 1/3 para 1/2, pois agora a disputa pela liberdade está apenas entre ele e C. No entanto, o prisioneiro C, ao saber da notícia, raciocina que a chance de A continua sendo 1/3, mas que a sua própria chance de ser perdoado subiu para 2/3. Quem está correto?

Solução e Análise Probabilística

A conclusão correta é a de C. O prisioneiro A não obteve nenhuma informação útil sobre seu próprio destino, pois ele já sabia que o carcereiro teria que nomear alguém (B ou C) para ser executado, independentemente de A ser perdoado ou não.

Análise Intuitiva

Antes da revelação, cada prisioneiro tinha 1/3 de chance de ser perdoado. Quando o carcereiro diz que B será executado, ele está fornecendo informação sobre B, mas não sobre A. Se A não for perdoado (o que acontece em 2/3 dos casos), a liberdade obrigatoriamente pertence a B ou C. Como B foi descartado, toda a probabilidade de "não ser A" (2/3) é transferida para C.

Formulação Matemática via Teorema de Bayes

Para formalizar a solução, definimos os eventos:

A, B, C: O prisioneiro correspondente é perdoado.
b: O carcereiro informa que o prisioneiro B será executado.

Símbolo do evento A — Evento A: Prisioneiro A é perdoado

Símbolo do evento B — Evento B: Prisioneiro B é perdoado

Símbolo do evento C — Evento C: Prisioneiro C é perdoado

Utilizando o Teorema de Bayes, a probabilidade posterior de A ser perdoado, dado que o carcereiro disse que B será executado, é:

Cálculo da probabilidade de A — Cálculo matemático demonstrando que P(A|b) = 1/3

Por outro lado, a probabilidade de C ser perdoado é:

Cálculo da probabilidade de C — Cálculo matemático demonstrando que P(C|b) = 2/3

A diferença crucial reside nas probabilidades condicionais: se A for perdoado, o carcereiro tem a escolha entre B e C (probabilidade 1/2 para cada). Se C for perdoado, o carcereiro deve nomear B (probabilidade 1).

Probabilidade de b dado A — P(b|A) = 1/2

Enumeração de Cenários

Para maior clareza, podemos listar todas as possibilidades:

A é perdoado e o carcereiro menciona B: 1/3 × 1/2 = 1/6 de probabilidade.
A é perdoado e o carcereiro menciona C: 1/3 × 1/2 = 1/6 de probabilidade.
B é perdoado e o carcereiro menciona C: 1/3 de probabilidade.
C é perdoado e o carcereiro menciona B: 1/3 de probabilidade.

Quando o carcereiro diz que B será executado, restam apenas os cenários onde A é perdoado (1/6) e C é perdoado (1/3). A razão entre 1/6 e 1/3 é de 1 para 2, confirmando que C tem o dobro de chance de sobrevivência de A.